Sari la conținut

Rectificare (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Un cub rectificat este un cuboctaedru, laturile sunt reduse la vârfuri, iar vârfurile sunt expandate în fețe noi
Un cub birectificat este un octaedru, fețele sunt reduse la puncte și apar fețe noi, centrate în vârfurile inițiale
La un fagure cubic rectificat laturile sunt reduse la vârfuri, iar vârfurile sunt expandate în celule noi

În geometria euclidiană rectificarea, cunoscută și sub denumirea de trunchiere completă, este procesul de trunchiere a unui politop prin marcarea punctelor de mijloc ale tuturor laturilor și tăierea vârfurile în acele puncte.[1] Politopul rezultat va fi mărginit de fațete de forma figurii vârfului și fațetele rectificate ale politopului inițial.

Un operator de rectificare este uneori notat cu litera r înaintea simbolilui Schläfli. De exemplu, r{4,3} este cubul rectificat, numit și cuboctaedru, notat și prin . Iar un cuboctaedru rectificat rr{4,3} este un rombicuboctaedru, notat și prin .

Notația Conway a poliedrelor folosește pentru acest operator notația a (ambo). În teoria grafurilor această operație creează un graf medial.

Rectificarea oricărui poliedru regulat sau pavare autoduale va avea ca rezultat un alt poliedru sau pavare de ordinul 4 regulate, de exemplu tetraedrul {3,3} devenind un octaedru {3,4}. Ca un caz particular, printr-o operație de rectificare o pavare pătrată {4,4} se va transforma într-o altă pavare pătrată {4,4} .

Exemple de rectificare ca trunchiere finală la o latură

[modificare | modificare sursă]
Trunchieri ale cubului dincolo de rectificare

Rectificarea este punctul final al unui proces de trunchiere. De exemplu, pe un cub această secvență arată patru pași ai unui continuum de trunchieri între forma regulată și cea rectificată:

  cub trunchiat
1/4
trunchiat
uniform
trunchiat
3/4
rectificat

Exemple de birectificare ca trunchiere finală la o față

[modificare | modificare sursă]

Imaginea de alături arată un cub birectificat ca secvență finală de la un cub la dualul său, în care fețele originale sunt trunchiate la un singur punct.

Dualul unui poligon are același formă ca și poligonul rectificat. Noile vârfuri sunt plasate în centrul laturilor poligonului inițial.

La poliedre și pavări plane

[modificare | modificare sursă]

Oricare poliedru platonic și dualul său au același poliedru rectificat. (Acest lucru nu este valabil pentru politopurile din dimensiuni superioare.)

Poliedrul rectificat se dovedește a fi exprimabil ca intersecție a poliedrului platonic inițial cu o versiune concentrică la scară adecvată a dualului său. Din acest motiv numele său este o combinație a numelui poliedrului inițial și al dualului său:

  1. Tetraedrul rectificat, al cărui dual este tot tetraedrul, este tetratetraedrul, mai bine cunoscut sub numele de octaedru.
  2. Octaedrul rectificat, al cărui dual este cubul, este cuboctaedrul.
  3. Icosaedrul rectificat, al cărui dual este dodecaedrul, este icosidodecaedrul.
  4. O pavare pătrată rectificată este tot o pavare pătrată.
  5. O pavare triunghiulară sau pavare hexagonală rectificate sunt o pavare trihexagonală.

Exemple

Familia Inițial Rectificat Dual

[p,q]
[3,3]
Tetraedru

Octaedru

Tetraedru
[4,3]
Cub

Cuboctaedru

Octaedru
[5,3]
Dodecaedru

Icosidodecaedru

Icosaedru
[6,3]
Pavare hexagonală

Pavare trihexagonală

Pavare triunghiulară
[7,3]
Pavare heptagonală de ordinul 3

Pavare triheptagonală

Pavare triunghiulară de ordinul 7
[4,4]
Pavare pătrată

Pavare pătrată

Pavare pătrată
[5,4]
Pavare pentagonală de ordinul 4

Pavare tetrapentagonală

Pavare pătrată de ordinul 5

La poliedre neregulate

[modificare | modificare sursă]

Dacă un poliedru nu este unul regulat, punctele din mijlocul laturilor care înconjoară un vârf pot să nu fie coplanare. Totuși, și în acest caz este încă posibilă o formă de rectificare: fiecare poliedru are un graf poliedric ca 1-schelet, iar din acel graf se poate forma graful medial prin plasarea unui vârf (nod) în fiecare punct de mijloc al grafului inițial și conectând două dintre aceste noi noduri printr-o muchie ori de câte ori aparțin muchiilor consecutive de-a lungul unei fețe comune. Graful medial rezultat rămâne poliedric, deci prin teorema lui Steinitz⁠(d) poate fi reprezentat ca un poliedru.

Notația Conway a poliedrelor echivalentă cu rectificarea este ambo, cu simbolul a. Aplicarea de două ori, aa a operației (rectificarea unei rectificări), este operația de expandare a lui Conway, e, care pentru poliedre și pavări regulate este aceeași cu cea de cantelare a lui Johnson, t0,2.

Rectificări în dimensiuni superioare

[modificare | modificare sursă]

Rectificarea în dimensiuni superioare poate fi efectuată pe politopuri regulate din dimensiuni superioare. Cel mai înalt grad de rectificare creează un politop dual. O rectificare trunchiază laturile la puncte. O birectificare trunchiază fețele la puncte. O trirectificare trunchiază celulele la puncte și așa mai departe.

La 4-politopuri și teselări cu faguri tridimensionali

[modificare | modificare sursă]

Orice 4-politop regulat convex are o formă rectificată ca 4-politop uniform.

Un 4-politop regulat {p,q,r} are celule {p,q}. Rectificarea sa va avea două tipuri de celule, un poliedru {p,q} rectificat rămas din celulele inițiale și un poliedru {q,r} ca celule noi formate la fiecare vârf trunchiat. Totuși, un {p,q,r} rectificat nu este același lucru cu un {r,q,p} rectificat. O altă trunchiere, numită bitrunchiere, este simetrică între un 4-politop și dualul său.

Exemple:

Familia Inițial Rectificat Birectificat
(Dual rectificat)
Trirectificat
(Dual)

[p,q,r]

{p,q,r}

r{p,q,r}

2r{p,q,r}

3r{p,q,r}
[3,3,3]
5-celule

5-celule rectificat

5-celule rectificat

5-celule
[4,3,3]
tesseract

tesseract rectificat

16-celule rectificat
(24-celule)

16-celule
[3,4,3]
24-celule

24-celule rectificat

24-celule rectificat

24-celule
[5,3,3]
120-celule

120-celule rectificat

600-celule rectificat

600-celule
[4,3,4]
Fagure cubic

Fagure cubic rectificat

Fagure cubic rectificat

Fagure cubic
[5,3,4]
Dodecaedric de ordinul 4

Dodecaedric de ordinul 4 rectificat

Cubic de ordinul 5 rectificat

Cubic de ordinul 5

Grade de rectificare

[modificare | modificare sursă]

O primă rectificare trunchiază laturile la puncte. Dacă un politop este regulat, această formă este notată cu un simbol Schläfli extins, t1{p,q,... } sau r{p,q,...}.

O a doua rectificare, sau birectificare trunchiază fețele la puncte. Dacă este regulată, notația sa este t2{p,q,...} sau 2r{p,q,...}. La poliedre o birectificare creează un poliedru dual.

Rectificările de grad mai înalt pot fi construite pentru politopuri din dimensiuni superioare. În general, o n-rectificare trunchiază n-fețele la puncte.

Dacă un n-politop este (n−1)-rectificat, fațetele sunt reduse la puncte și politopul devine dualul său.

Notații și fațete

[modificare | modificare sursă]

Există diferite notații echivalente pentru fiecare grad de rectificare. Aceste tabele arată numele după dimensiune și cele două tipuri de fațete pentru fiecare.

Poligoane regulate

[modificare | modificare sursă]

Fațetele sunt laturi, notate prin {2}.

Nume
{p}
Diagramă Coxeter t-notație
Simbol Schläfli
Simbol Schläfli vertical
Nume Fațetă-1 Fațetă-2
Inițial t0{p} {p} {2}
Rectificat
(Dual)
t1{p} {p} {2}

Poliedre uniforme și pavări uniforme

[modificare | modificare sursă]

Fațetele sunt poligoane regulate.

name
{p,q}
Diagramă Coxeter t-notație
Simbol Schläfli
Simbol Schläfli vertical
Nume Fațetă-1 Fațetă-2
Inițial = t0{p,q} {p,q} {p}
Rectificat
(Dual rectificat)
= t1{p,q} r{p,q} = {p} {q}
Birectificat
(Dual)
= t2{p,q} {q,p} {q}

4-politopuri regulate și faguri regulați

[modificare | modificare sursă]

Fațetele sunt poliedre regulate sau rectificate.

Nume
{p,q,r}
Diagramă Coxeter t-notație
Simbol Schläfli
Simbol Schläfli extins
Nume Fațetă-1 Fațetă-2
Inițial t0{p,q,r} {p,q,r} {p,q}
Rectificat t1{p,q,r} = r{p,q,r} = r{p,q} {q,r}
Birectificat
(Dual rectificat)
t2{p,q,r} = r{r,q,p} {q,r} = r{q,r}
Trirectificat
(Dual)
t3{p,q,r} {r,q,p} {r,q}

5-politopuri regulate și 4-faguri regulați

[modificare | modificare sursă]

Fațetele sunt 4-politopuri regulate sau rectificate.

Nume
{p,q,r,s}
Diagramă Coxeter t-notație
Simbol Schläfli
Simbol Schläfli extins
Nume Fațetă-1 Fațetă-2
Inițial t0{p,q,r,s} {p,q,r,s} {p,q,r}
Rectificat t1{p,q,r,s} = r{p,q,r,s} = r{p,q,r} {q,r,s}
Birectificat
(Dual birectificat)
t2{p,q,r,s} = 2r{p,q,r,s} = r{r,q,p} = r{q,r,s}
Trirectificat
(Dual rectificat)
t3{p,q,r,s} = r{s,r,q,p} {r,q,p} = r{s,r,q}
Cvadrirectificat
(Dual)
t4{p,q,r,s} {s,r,q,p} {s,r,q}
  • en Coxeter, H.S.M., Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
  • en Norman Johnson, Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • en Norman Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26)

Legături externe

[modificare | modificare sursă]
  • en George Olshevsky. „Rectification”. Glossary for Hyperspace. Arhivat din original la . 


 v  d  m Operatori poliedrici
Sămânță Trunchiere Rectificare Bitrunchiere Dual Expandare Omnitrunchiere Alternări
Poliedru regulat Poliedru trunchiat Poliedru cvasiregulat Poliedru bitrunchiat Poliedru dual Poliedru cantelat Poliedru omnitrunchiat Alternare (geometrie) Poliedru snub Poliedru snub
t0{p,q}
{p,q}
t01{p,q}
t{p,q}
t1{p,q}
r{p,q}
t12{p,q}
2t{p,q}
t2{p,q}
2r{p,q}
t02{p,q}
rr{p,q}
t012{p,q}
tr{p,q}
ht0{p,q}
h{q,p}
ht12{p,q}
s{q,p}
ht012{p,q}
sr{p,q}